Mathématiciens avancent sur Langlands

Un groupe de mathématiciens vient de franchir une étape importante dans leur domaine. Le 11 septembre, ils ont publié sur Arxiv leur troisième preprint en cinq étapes, détaillant leurs progrès dans le légendaire « programme de Langlands ». Leurs travaux complets ont été disponibles sur le site de Dennis Gaitsgory, l’un des principaux chercheurs et directeur de recherche à l’Institut Max-Planck pour les mathématiques à Bonn, en Allemagne, depuis quelques mois. Au total, ils ont rédigé près de mille pages pour résoudre un problème similaire au célèbre « programme » du mathématicien canadien Robert Langlands. En 1967, Langlands avait humblement partagé une de ses idées à son collègue français, André Weil, en lui écrivant : « Si vous souhaitez considérer cela comme des suppositions, je vous en serais très reconnaissant. Sinon, je suis sûr que vous avez une poubelle à disposition. » Un demi-siècle plus tard, de nombreux scientifiques tentent toujours de prouver sa théorie.

Ce programme est également reconnu comme « correspondance », non pour avoir été présenté par voie postale, mais pour établir une liaison entre deux « continents » mathématiques. Edward Frenkel, un professeur de l’Université de Californie à Berkeley, qui a traversé ces liens mais n’est pas membre de l’équipe concernée, la décrit comme une « grande unification mathématique », tout comme en physique il y a un rêve d’unifier les perspectives de la mécanique quantique et de la relativité générale, l’infiniment petit et l’infiniment grand. Pour maintenir l’idée de correspondance, certains utilisent la métaphore de la pierre de Rosette, qui grâce à ses inscriptions en plusieurs langues, a permis de décoder les hiéroglyphes. D’autres optent pour le terme de « dictionnaire » pour décrire comment une même idée peut être exprimée dans deux langues différentes.
Dans tous les cas, l’ambition est non seulement de cartographier le monde mathématique, mais aussi d’utiliser ces ponts, la pierre de Rosette, les dictionnaires pour répondre à des questions en suspens. Perdu sur un continent, on peut rencontrer des locaux qui parlent une langue différente et pourtant réussir à communiquer. Plus pragmatiquement, un problème mathématique complexe à résoudre dans un certain domaine peut être plus « simple » ailleurs.

En 1993, le théorème de Fermat, qui stipule l’impossibilité de trouver des nombres entiers strictement positifs x, y et z de telle sorte que xn + yn = zn, si n est supérieur ou égal à 3, a été démontré par l’Anglais Andrew Wiles grâce au concept d’équivalence. Il est issu de deux domaines clés, à savoir la théorie des nombres et l’arithmétique, qui sont à l’origine du théorème, et une autre théorie dérivée de l’étude des ondes périodiques comme les ondes sonores, connue comme l’analyse « harmonique ».

Une pratique courante dans ce domaine est de décomposer un son en plusieurs « sons purs », chacun avec des fréquences différentes. La correspondance de Langlands étend cette pratique en créant une équivalence entre les objets harmoniques, appelés « fonctions automorphes » (les sons), et l’arithmétique, la fréquence des sons purs. Le reste de cet article (54.98 %) est accessible uniquement aux abonnés.