« Solutions à l’énigme maths Monde n°22 »

Avant l’ouverture des Jeux olympiques, nous avons mis un terme à la première saison de nos jeux de devinettes mathématiques, qui traitaient de la question non résolue de la quadrature d’un cube. La question centrale consistait à diviser un cube vide en plusieurs parties afin de pouvoir assembler un carré. Je suggérais notamment d’essayer d’accomplir cette tâche en utilisant le moins de pièces possibles.
En examinant toutes vos réponses, j’ai toutefois réalisé qu’il était regrettable de ne montrer que les solutions qui utilisent le minimum de pièces, car vous avez fait preuve d’une incroyable diversité d’approches. Voici un bref aperçu des différentes astuces pour transformer un cube en carré.
Commençons par une proposition amusante de Rault Stanislas. Il a employé la méthode de division de la mitre, mise au point au début de l’année par Vesa Timonen et mentionnée dans l’énoncé du puzzle. En divisant chaque face du carré en deux le long de la diagonale, on obtient douze triangles, avec lesquels il est facile de reproduire la forme de la mitre. Il suffit ensuite d’y ajouter la division de Timonen pour créer un carré.
Faire des mathématiques, c’est souvent essayer de revenir à une situation déjà connue ! Cette démonstration en est un parfait exemple.
Lorsqu’on cherche à former une quadrature, les symétries peuvent également nous aider. Le carré et le cube ont plusieurs axes (ou niveaux) de symétrie et sont inchangés par des rotations d’un quart de tour. Il est judicieux d’essayer de conserver certaines de ces symétries (ou au moins des fragments de symétrie) dans la division, autant pour des raisons pratiques que pour une recherche d’élégance. Voici deux solutions proposées par Pascal Dubois (A) et Francis Jamet (B).

Christiane Marion est l’auteure d’un exemple de quadrature qui consiste en huit morceaux. Cette structure a un centre de symétrie et reste presque la même après une rotation d’un quart de tour. On pourrait envisager de la découper davantage pour solidifier cette constance.

Dans sa réponse à ce puzzle, Pascal Dubois fait référence à une technique du Xe siècle que le mathématicien persan Abu l-Wafa a mis au point pour composer un grand carré à partir de trois petits carrés identiques. Vous positionnez l’un des trois carrés au milieu, puis découpez les deux autres en suivant une diagonale et les disposez autour, comme le montre l’illustration ci-dessous. Ensuite, il faut juste tailler les parties qui dépassent et les repositionner dans les espaces vides pour obtenir le carré plus grand.

Il est intéressant de noter qu’il est tout à fait réalisable de créer trois carrés identiques en découpant les six côtés d’un cube en diagonale, et par conséquent d’appliquer la méthode d’Abu l-Wafa à ces derniers.

Plusieurs participants m’ont présenté des schémas où tous les fragments étaient rectangulaires ou toutes les découpes étaient effectuées dans seulement deux axes perpendiculaires. L’évaluation de ces soumissions a été un défi pour moi, mais j’ai découvert que toutes avaient une précision légèrement déficiente. A ce jour, personne n’a réussi à trouver une réponse précise où tous les morceaux étaient rectangulaires. Si je devais émettre une supposition à propos de ceci, je dirais qu’une telle quadrature est improbable. Bien entendu, je suis ouvert aux réfutations.

Il convient tout de même de souligner une solution intéressante de six pièces offerte par Daniel Collignon qui n’inclut qu’une seule ligne de découpe en diagonale d’après le modèle d’un cube.

Selon mes observations, la plupart des réponses suggéraient de commencer par déplier le cube en un modèle, avant de le découper. Le choix judicieux d’un modèle spécifique (il y en a différent) était crucial pour réduire le nombre de morceaux. Deux variantes distinctes de ce processus ont été proposées par Daniel Dubuisson (A) et Jean-François Le Garrec (B).
La contrepartie la plus souvent proposée, en cinq parties, a été identifiée indépendamment par huit participants. La première étape est de créer un rectangle 2 × 3 qui est ensuite découpé et déplacé le long d’une diagnoale.
Je dois admettre que c’est aussi le même processus minimal que j’avais conçu by mo-même. Une autre alternative en cinq morceaux, proposée par Laurent Constantin, utilise le même processus mais en sens inverse. On peut constater un réarrangement des trois plus petits morceaux pour accommoder la largeur du carré.
Mes prochaines explications concerneront les options minimales. Deux alternatives en quatre pièces ont été trouvées ! La première par Jérôme Petitjean (A) et la seconde par Jérôme Roche (B). Les deux sont basées sur le même modèle de cube.
Remarquez que ces deux options ont la particularité d’inverser les bords intérieurs et extérieurs : chaque ligne de coupe sur le modèle apparaît au bord du carré et vice-versa. En tenant compte du fait que le cube initial a une longueur d’arête de 1, alors la surface totale du cube est de 6, le carré final devrait donc avoir une longueur d’arête de √6. Ces deux alternatives ont une longue coupe mesurant √6 et deux autres coupes plus courtes dont la totalité est √6.
Une méthode pour parvenir à cette solution consiste à recouvrir le plane avec le modèle du cube et à y superposer un carré de côté √6 incliné.

Il est nécessaire d’orienter le pavage carré par rapport au modèle de manière à ce que la hauteur verticale et la largeur horizontale des carrés soient toutes deux équivalentes à 2. Ceci permet aux modèles et aux cubes de rester superposés de manière uniforme sur toute la surface du pavage. Jusqu’à maintenant, aucune partition en moins de quatre pièces n’a été trouvée, mais il n’y a aucune preuve que cela ne soit pas réalisable. C’est l’état actuel de la question concernant la quadrature du cube au moment où j’écris ces mots. Je maintiens l’adresse mail laquadratureducube@micmaths.fr ouverte à toute personne qui pourrait apporter de nouvelles découvertes, et je m’assurerai de vous informer de tout progrès futur. Participer. Réexploiter ce contenu.