A quoi sert-il ? Le théorème de Pythagore remonte à l’Antiquité grecque.
Il est encore enseigné aujourd’hui, car il permet de toujours connaître la longueur d’un côté d’un triangle rectangle lorsqu’on connaît la longueur des deux autres côtés.
Il fournit également une façon simple de déterminer si un triangle est rectangle.
Quel est son contexte d’application ? Le théorème de Pythagore n’est vrai que pour les triangles rectangles : l’un des angles du triangle doit former un angle droit (de 90°).
Réciproquement, si le théorème fonctionne avec un triangle, c’est que celui-ci est rectangle.
Comment appliquer le théorème de Pythagore ? Le théorème de Pythagore dit que « le carré de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est égal au carré des deux autres côtés ».
Par hypoténuse, il faut entendre le côté le plus long du rectangle.
Ainsi, si c est l’hypoténuse, et a et b la longueur des deux plus petit côtés : c² = a² + b².
Grâce à ce théorème, nous obtenons une formule pour retrouver chaque côté à partir des deux autres : c vaut la racine carrée de (a² + b²).
a vaut la racine carrée de (c² – b²).
b vaut la racine carrée de (c² – b²).
Réciproquement, si un triangle respecte l’une de ces trois formules, c’est qu’il est rectangle.
Exemple 1 : montrer qu’un triangle est rectangle Soit un triangle dont les côtés ont une longuer de 3, 4 et 5cm.
Montrons qu’il est rectangle.
Nous voyons que le plus grand côté vaut 5, c’est donc celui-ci l’hypothénuse.
Pour que le triangle soit rectangle, il faut que le carré de l’hypothénuse soit égal au carré des deux autres côtés.
Or, on montre facilement, qu’en effet, 5² = 4² + 3².
Donc le triangle est rectangle.
Exemple 2 : déduire la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle Soit un triangle rectangle dont les deux plus petits côtés font 4 et 3.
Calculons la longueur de son hypoténuse.
Comme le triangle est rectangle, Pythagore s’applique, et on retrouve l’hypoténuse par : c² = 4² + 3² = 25, où c est l’hypoténuse.
Donc l’hypoténuse vaut 5.