Comment calculer un volume ?

Longueur et surface Tout comme mesurer une distance revient à mesurer combien de fois on peut faire entrer une longueur étalon (par exemple un mètre) dans la distance que l’on souhaite mesurer, mesurer une surface se fait en comptant combien de fois on peut faire entrer une surface étalon dans la surface que l’on souhaite mesurer.

Cela revient à « paver » la surface à l’aide d’un étalon de surface choisi au préalable.
L’opération est facile par exemple pour une surface rectangulaire de 1m x 2m que l’on peut aisément paver à l’aide de petits carrés étalons de 10 cm par 10 cm.
On pourra emplir cette surface par 10 rangées de 20 carrés, soit 200 = 20 x 10 carrés.
On multiplie donc la longueur par la largeur.
Si l’on décrète que le petit carré étalon représente une unité de surface, alors notre rectangle mesure 200 unités de surface.
Dans le système métrique, l’unité de longueur étalon est le mètre (dont soit dit en passant la définition métrologique fait appel à la vitesse de la lumière).

L’unité de surface est le mètre carré, correspondant à un carré de 1 mètre sur 1 mètre.
On peut faire rentrer 2 carrés de 1m sur 1m dans notre rectangle de 1m x 2m, il a donc une surface de 2 mètres carrés (m2).
Comment calculer un volume ? Le calcul intégral De façon similaire on peut mesurer l’occupation en volume à l’aide d’un cube étalon d’un mètre d’arrête en comptant combien de fois il peut entrer dans le volume que l’on souhaite mesurer.
Evidemment cela est simple si le volume à mesurer peut contenir exactement le bon nombre de cubes unitaires, mais ce n’est généralement pas le cas.
On doit alors couper le volume étalon en volumes plus petits pour pouvoir épouser la forme du volume à mesurer.
Plus le volume à mesurer est complexe, plus ce découpage se doit d’être fait de façon fine de façon à épouser parfaitement les contours.
A la limite ces petits volumes deviennent si petits (leur volume tend vers 0) qu’il faut en utiliser un nombre très grand (qui tend vers l’infini).
Ce raisonnement qui consiste à ajouter entre eux une infinité d’éléments de taille infinitésimale (c’est-à-dire de taille infiniment petite) est connu sous le nom de calcul intégral ou calcul différentiel.
Il a été inventé par Newtown et Leibnitz au XVIIe siècle.
Le calcul intégral est à la base du calcul des volumes complexes comme ceux d’une sphère, d’un tore, etc.
dont le calcul du volume a parfois tout d’une formule ésotérique (faisant par exemple parfois intervenir de nombre d’or ou le nombre PI).
A l’aide du calcul intégral, on cherche généralement à calculer le volume d’un objet complexe en fonction d’un nombre réduit de ses caractéristiques principales.
Pour les objets simples, comme un cube par exemple, il n’est pas nécessaire d’utiliser le calcule intégrale (la formule du volume d’un cube se calcule facilement à partir de la longueur de son arrête.
Si celle-ci est de longueur L mesurée en mètres, le volume du cube est de L x L X L, mesuré en mètres cubes, m3).
Un peu plus compliqué, mais tout aussi facilement compréhensible, le volume d’un parallélépipède rectangle (c’est-à-dire d’un volume constitué de 6 faces rectangulaires dont les faces adjacentes sont perpendiculaires entre elles) est égal au produit de la longueur, de la largeur et de la profondeur : L x l x P.
Cela paraît presque évident ! Les choses se corsent, et deviennent franchement moins intuitives si le parallélépipède n’est plus rectangle ! C’est le cas par exemple du rhomboèdre (ressemblant au cube, excepté que ses faces ne sont pas carrées, mais en forme de losanges).
Le volume d’un cylindre ou d’une sphère se calcule lui par calcul intégral et fait intervenir le rayon de la sphère R et le nombre PI (rapport du périmètre au diamètre d’un cercle).
Il est égal à (4/3) x PI x R x R x R.
Pourquoi 4/3 ? C’est la magie du calcul intégral !